An ceangal eadar teòiridh bhuidhnean agus fractalan.

Brief English note: this is a work in progress, and I will be adding to it over the coming weeks. It is largely based on an excellent paper, available here. This article is a personal project: an attempt to use Gàidhlig in mathematical writing by presenting the ideas of the paper in my own words.

I will also include some original material, such as my own proofs and fractal animations that I have programmed to help visualise some of the amazing concepts being discussed. However, the real intellectual credit belongs, of course, to the original author.

Ro-ràdh
Tha fractalan a’ nochdadh ann an iomadh raon inntinneach den mhatamataig. Tha cuid de fhractalan ag èirigh à siostaman matamataigeach ris an canar siostaman dinimigeach. ’S dòcha gu bheil sibh eòlach air an duilgheadas ainmeil ann an siostaman dinimigeach ris an canar Duilgheadas nan Trì Cuirp (3 Body Problem). Tha an duilgheadas sin a’ buntainn ri cuairtean planaidean. Agus, ged nach eilear gan cleachdadh san aon dòigh ann an sgrùdadh fhractalan, ’s ann tro chuairtean shiostaman dinimigeach a bhios fractalan gu tric ag èirigh. Mus beachdaich sinn air na cuairtean sin, feumaidh sinn cuid de theirmean agus de thoraidhean matamataigeach a mhìneachadh, agus beagan co-theacsa a thoirt seachad.

Deifinisean 1.1: siostam dinimigeach
Biodh $X$ na àite topo-eòlasach
Biodh $f : X \to X$ na mhapadh, mar eisimpleir $f(x)=x^2$
Canar siostam dinimigeach ris am phaidhir $(X,f)$

Deifinisean 1.2: cuairt
Biodh $x_0 \in X$
Canar cuairt $x_0$ ris an seata $\lbrace x_0, f(x_0), \ldots, f^n(x_0), \ldots \rbrace$ far a bheil $x_0$ na luach tòiseachaidh.
Ann am faclan eile, ’s e a’ chuairt an seata de na luachan uile a gheibhear le bhith a’ cur $f$ air $x_0$ a-rithist is a-rithist.
Mar eisimpleir, nam biodh $f(x)=x^2$ , b’ e $\lbrace 1,1,1,1,1,1,\ldots \rbrace = \lbrace 1 \rbrace$ a chuairt aig $1$ .

Deifinisean 1.3 ⁊ 1.4: cuairtean co-aomach / iomsgarach
Biodh $K$ na cuairt $x_0 \in X$
Ma tha àireamh nàdarra, $n$ , agus $k \in X$ ann far a bheil $f^i(x_0)=k$ airson gach $i > n$ , canar gur e cuairt cho-aomach a th’ ann an $K$ agus gu bheil i a’ co-aomadh ri $k$ . Mur eil $K$ na cuairt cho-aomach canar gur e cuairt iomsgarach a th’ innte. Mar eisimpleir, nam biodh $f(x)=x^2$ agus $x_0=2$ , canar gu bheil a’ chuairt $x_0$ , $\lbrace 2,4,16,256,\ldots \rbrace$ , ag iomsgaradh gu neo-chrìochnachd.

Deifinisean 1.5: puingean stèidhichte / chuairteach
Nam biodh $f^i(x)=x \ \forall i$ , canar gur e puing stèidhichte a th’ ann an $x$ .
Mur eil $x$ na phuing stèidhichte, ach tha àireamh nàdarra, $n$ , ann far a bheil $f^n(x)$ na phuing stèidhichte, canar gur e puing ro-stèidhichte a th’ ann an $x$ .
Nise, mur eil $x$ na phuing stèidhichte no ro-stèidhichte, dh’fhaodar gur e puing chuairteach a th’ ann. Ma tha àireamh nàdarra $j>0$ ann far a bheil $f^{jn}(x)=x \ \forall n$ agus $f^m(x)\neq x \ \forall m : j \nmid m$ , ‘s e puing chuairteach a th’ ann an $x$ . Ann am faclan eile, a’ tòiseachadh aig $x$ , bidh an foincsean $f$ a’ dol tro chuairt de $j$ luachan a tha a’ tilleadh gu $x$ . Chìthear a’ chuairt seo a-rithist is a-rithist nuair a chuirear $f$ an sàs iomadh uair.
Mur eil $x$ na phuing chuairteach ach $\exists$ àireamh nàdarra, $n$ , far a bheil $f^n(x)$ na phuing chuairteach, canar gur e puing ro-chuairteach a th’ ann an $x$ .
Tha eisimpleirean dhiubh seo ri fhaicinn gu h-ìosal.

Eisimpleir 1.6: cuid de chuairtean
Biodh $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ , $f(z)=z^2$
$\mathrm{cuairt}(i) = \lbrace i,-1,1,1,1,\ldots \rbrace$ . ‘S e cuairt cho-aomach a tha seo. Cuideachd, ‘s e puing ro-stèidhichte a th’ ann an $i$ , oir ‘s e puing stèidhichte a th’ ann an $1$ .

Biodh $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ , $f(z)=z^3$
$\mathrm{cuairt}(e^{\pi i/6}) = \lbrace e^{\pi i/6}, e^{\pi i/2}, e^{3\pi i/2}, e^{\pi i/2}, e^{3\pi i/2}, e^{\pi i/2}, \ldots \rbrace = \lbrace e^{\pi i/6}, e^{\pi i/2}, e^{3\pi i/2} \rbrace$ . ‘S e cuairt iomsgarach a tha seo. Cuideachd, ‘s e puing ro-chuairteach a th’ ann an $e^{\frac{\pi}{6}i}$ , oir ‘s e puing chuairteach a th’ ann an $e^{\frac{\pi}{2}i}$ .

Deifinisean 1.7 ⁊ 1.8: puingean tarraingeach / ais-bhualach
Biodh $p \in X$ .
Canar puing tharraingeach ri $p$ ma tha nàbachd thollta de $p$ ann, ris an can sinn $P$ , anns a bheil a’ chuairt aig gach $x \in P$ a’ co-aomadh ri $p$ .
Canar puing ais-bhualach ri $p$ ma tha nàbachd de $p$ ann, ris an can sinn $U$ , agus anns gach nàbachd de $p$ , $V \subseteq U$ , tha co-dhiù aon phuing am broinn $V$ far nach eil a’ chuairt aice air a cumail am broinn $U$ .

Eisimpleir 1.9: puing ais-bhualach
Coimheadaidh sinn air a’ phuing $1 \in \mathbb{C}$ .

Biodh $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ , $f(z)=z^2$ .

Biodh $U$ an nàbachd de $1$ a tha mìnichte mar $\lbrace a+bi \in \mathbb{C} : (a-1)^2 + b^2 < 0.25 \rbrace$ is e sin ri ràdh, an diosg fosgailte le meadhan $1$ agus rèideas $0.5$ . Nise, beachdaich air nàbachd de $1$ , $V$ , a tha na fo-sheata de $U$ . ’S urrainn dhuinn $V$ a ghearradh ann an trì gearraidhean: puingean aig a bheil mòidealas nas lugha na $1$ , nas motha na $1$ agus co-ionann ri $1$ . Ge bith dè an gearradh air a bheilear a’ coimhead, lorgar co-dhiù aon phuing aig nach eil a cuairt air a cumail am broinn $U$ . Tha fios againn gum bi mòidealasan nan luachan a gheibhear tro cheàrnagachadh ath-aithriseach a’ co-aomadh ri $0$ nuair a tha mòidealas an luach thòiseachaidh nas lugha na $1$ . Air an làimh eile, bidh mòidealasan nan luachan sin ag iomsgaradh gu neo-chrìochnachd nuair a tha mòidealas an luach tòiseachaidh nas motha na $1$ . Mar sin, tha e follaiseach nach eil puing sam bith ann an gin den dà ghearradh sin aig a bheil cuairt air a cumail am broinn $U$ ; ach dè mu dheidhinn an gearradh mu dheireadh?

Leis gu bheil $V$ na nàbachd de $1$ , agus air sgàth ‘s gu bheil $\mathbb{C}$ na àite meatrach, $\exists D \subseteq V$ far a bheil $D$ na dhiosg fosgailte le meadhan $1$ . Cuideachd, mothaich gu bheil $\lim_{n \to \infty} e^{\frac{\pi}{2^n}i} = 1$ .

Mar sin, airson àireamh nàdarra air choireigin $m$ tha $e^{\frac{\pi}{2^m}i} \in D \subseteq V$ . Ma bhios sinn a’ ceàrnagachadh a’ phuing sin $m$ tursan, gheibh sinn $-1$ . Ach, $-1 \notin U$ , mar sin tha co-dhiù aon phuing anns a’ ghearradh mu dheireadh de $V$ far nach eil a chuairt gu lèir air a cumail am broinn $U$ .

Cha robh an cunntas seo gu lèir riatanach gus dearbhadh gu bheil co-dhiù aon phuing anns gach $V$ aig a bheil cuairt nach eil gu lèir am broinn $U$ , agus a-rèiste gur e puing ais-bhualach a th’ ann an 1. Ach bha e feumail a shealltainn gus cuid de na h-innealan matamataigeach a chleachdar san raon seo de mhatamataig fhaicinn.

Deifinisean 1.10: àrainn tàirnge
Biodh $p$ na phuing stèidhichte tharraingeach. Canar àrainn tàirnge aig $p$ ri seata fhosgailte $U$ anns a bheil a’ chuairt aig gach $x \in U$ a’ co-aomadh ri $p$ .

Teirmean agus Toraidhean Co-cheangailte ri Hoimeamorfachdan
Mus urrainn dhuinn mìneachadh dè th’ ann an hoimeamorfachd, feumaidh sinn foincseanan leantainneach a thoirt a-steach mar choincheap. Mìnichear leantainneachd ann an dòigh eadar-dhealaichte ann an topo-eòlas an coimeas ri anailis. Tha an deifinisean “epsilon-delta” mar a nochdas e ann an anailis ro-ràdhail stèidhichte air àiteachan meatrach a-mhàin, agus anns na h-àiteachan sin chì sinn a dh’aithghearr gu bheil an dà dheifinisean ag impleachadh a chèile. Dh’fhaodar ràdh gur e cùis shònraichte dhen deifinisean thopo-eòlasach a th’ ann an deifinisean epsilon-delta.

Deifinisean 1.11: foincsean leantainneach
Biodh $X$ agus $Y$ nan àiteachan topo-eòlasach.
Biodh $f: X \to Y$ na mhapadh.

Ann an topo-eòlas, canar foincsean leantainneach ri $f$ ma tha ro-ìomhaigh gach seata fosgailte ann an $Y$ fo $f$ na seata fosgailte ann an $X$ . Ann an àiteachan meatrach, faodar an deifinisean epsilon-delta a chleachdadh cuideachd. Fon deifinisean seo, canar foincsean leantainneach ri $f$ ma tha $\delta_{a,\varepsilon}$ ann airson gach $a \in X$ agus $\varepsilon > 0$ : $\forall x \in X$ , ma tha $\left|x-a\right| < \delta_{a,\varepsilon}$ , tha $\left|f(x)-f(a)\right| < \varepsilon$ . Mar a chì sinn a-nis, tha $f$ leantainneach fon deifinisean epsilon-delta ma tha, agus dìreach ma tha, e leantainneach fon deifinisean thopo-eòlasach.

Eisimpleir 1.12: leantainneachd thopo-eòlasach $\Leftrightarrow$ leantainneachd epsilon-delta

Leantainneachd thopo-eòlasach $\Longrightarrow$ leantainneachd epsilon-delta
San eisimpleir seo, cleachdaidh sinn an aon suidheachadh ris a’ pharagraf roimhe, agus san toiseach gabhaidh sinn ris cuideachd gu bheil $f$ na foincsean leantainneach ann an dòigh thopo-eòlasach. Nise, airson gach $\varepsilon>0$ agus $a\in X$ , $\exists \tau<\varepsilon$ far a bheil am ball fosgailte le meadhan $f(a)$ agus rèideas $\tau$ na fho-sheata de $Y$ . Canaidh sinn $B_Y(f(a),\tau)$ ris an leithid de bhall. Leis gu bheil $f^{-1}(B_Y(f(a),\tau))$ na sheata fosgailte ann an $X$ agus gu bheil $X$ na àite meatrach, $\exists \delta\colon B_X(a,\delta)\subseteq f^{-1}(B_Y(f(a),\tau))$ . Mar sin, dh’fhaodar a ràdh gu bheil $f(B_X(a,\delta))\subseteq B_Y(f(a),\tau)\subseteq B_Y(f(a),\varepsilon)$ , agus tha e follaiseach gu bheil seo a’ ciallachadh gu bheil $f$ leantainneach a rèir mìneachadh epsilon-delta.

Leantainneachd thopo-eòlasach $\Longleftarrow$ leantainneachd epsilon-delta
A-nis, san dàrna leth den eisimpleir, gabhaidh sinn ris gu bheil $f$ na foincsean leantainneach a rèir mìneachadh epsilon-delta. A-rithist, biodh $U$ na sheata fosgailte ann an $Y$ . Air sgàth ’s gu bheil $Y$ na àite meatrach, $\forall y\in U\ \exists \varepsilon_y>0\colon B_Y(y,\varepsilon_y)\subseteq U$ . Airson gach $x\in f^{-1}(y)$ , tha fios againn, a rèir mìneachadh epsilon-delta, gu bheil $\delta(x,\varepsilon_y)$ ann, ris an can sinn $\delta_x$ , far a bheil $f(B_X(x,\delta_x))\subseteq B_Y(y,\varepsilon_y)$ . Faodaidh barrachd air aon luach freagarrach a bhith ann airson gach aon de $\delta_x$ agus $\varepsilon_y$ , ach dh’fhaodar an ainmeachadh mar sin oir chan eil na roghainnean àraid $\delta_x$ agus $\varepsilon_y$ a’ dèanamh diofar don toradh dheireannach. Le bhith a’ cleachdadh bun-thoraidhean à topo-eòlas, tha e comasach a dhearbhadh gu bheil $\bigcup_{y\in U}\bigcup_{x\in f^{-1}(y)}B_X(x,\delta_x)=f^{-1}(U)$ , agus mar sin, gu bheil $f^{-1}(U)$ na sheata fosgailte ann an $X$ . $\blacksquare$

Deifinisean 1.13: Leantainneach aig puing
Mar as àbhaist, biodh $X$ agus $Y$ nan àiteachan topo-eòlasach agus $f:X\to Y$ na mhapadh. Cuideachd, biodh $x$ na eileamaid de $X$ . Airson gach nàbachd $U$ de $f(x)$ , ma tha nàbachd $V$ de $x$ ann far a bheil $f(V)\subseteq U$ , canar gu bheil $f$ leantainneach aig a’ phuing $x$ . Dh’fhaodar dearbhadh gu bheil $f$ na foincsean leantainneach san fharsaingeachd ma tha $f$ leantainneach aig gach puing $x\in X$ , no air an làimh eile, gu bheil $f$ leantainneach aig gach puing $x\in X$ ma tha $f$ leantainneach san fharsaingeachd.

Deifinisean 1.14: Hoimeamorfachd
Biodh $X$ agus $Y$ nan àiteachan topo-eòlasach.
Biodh $f:X\to Y$ na dhà-thilgeil.

Canar hoimeamorfachd ri $f$ ma tha an dà chuid $f$ agus $f^{-1}$ leantainneach. Agus ma tha an leithid de hoimeamorfachd ann eadar $X$ agus $Y$ , thathar ag ràdh gu bheil $X$ agus $Y$ hoimeamorfach. ’S e ceangal nas làidire na homatopachd a th’ ann an hoimeamorfachd. Ma tha $X$ agus $Y$ hoimeamorfach, tha iad co-ionann a thaobh homatopachd, ach air an làimh eile, ma tha $X$ agus $Y$ co-ionann a thaobh homatopachd, chan fheum iad a bhith hoimeamorfach. ’S e sin ri ràdh: $\text{hoimeamorfachd}\Rightarrow\text{homatopachd}$ . Fiù ’s ged nach eil àiteachan buileach co-ionann anns a h-uile dòigh, ma tha hoimeamorfachd eatarra, tha iad co-ionann bhon t-sealladh topo-eòlasach.

Eisimpleirean 1.15 7 1.16: cuid de mhapaidhean hoimeamorfach is neo-hoimeamorfach.
Biodh $\mathbb{R}$ na sheata nam fìor-àireamhan, uidheamaichte leis an topo-eòlas bhun-thomhasach agus biodh a’ bheàrn $(0,1)$ na fo-àite $\mathbb{R}$ .
Biodh $f:(0,1)\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\tan\left(\pi\left(x-\frac{1}{2}\right)\right)$ .

San fharsaingeachd, faodar dearbhadh gur e foincsean leantainneach a th’ ann an co-dhèanamh de fhoincseanan leantainneach. Mar sin, ‘s e foincsean leantainneach a th’ ann an $f$ . Cuideachd, anns a’ bheàrn fhosgailte $(0,1)$ gabhaidh $\pi\left(x-\frac{1}{2}\right)$ gach luach anns a’ bheàrn $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ , agus tha sin a’ ciallachadh gun gabh $f$ gach luach ann an $\mathbb{R}$ . Cha bhiodh e doirbh a dhearbhadh gur e dà-thilgeil a th’ ann an $f$ ach airson na cùise seo, dh’fhòghnadh dhut sealltainn air na grafaichean gu h-ìosal airson sin fhaicinn. Nise, tha mùiteach fair a mhìnicheadh mar $f^{-1}(y)=\frac{\tan^{-1}(y)}{\pi}+\frac{1}{2}$ . Tha $f^{-1}$ leantainneach air sgàth ‘s gu bheil e na cho-dhèanamh de fhoincseanan leantainneach. Mar sin, ‘s e hoimeamorfachd a th’ ann am $f$ .

Airson an dàrna phàirt dhen eisimpleir;
Biodh $[0,1)$ agus $\lbrace a+bi:a,b\in\mathbb{R},a^2+b^2=1\rbrace$ nan fo-àiteachan $\mathbb{C}$ uidheamaichte leis na topo-eòlasan fo-àite aca a gheibhear bho $\mathbb{C}$ .
Biodh $f:[0,1)\to\lbrace a+bi:a,b\in\mathbb{R},a^2+b^2=1\rbrace$ , $f(x)=\cos(2\pi x)+i\sin(2\pi x)$ .

Le bhith a’ cleachdadh bun-eòlas triantanachd, tha e furasta ri fhaicinn gu bheil $f$ na dhà-thilgeil leantainneach chun a’ chearcaill-aonaid. Ach dè mu dheidhinn $f^{-1}$ ? Feumaidh gur e dà-thilgeil a th’ ann, ach a bheil e leantainneach? Beachdaich air an t-seata $[0,0.5)$ . Tha an seata seo fosgailte anns an topo-eòlas fo-àite air $[0,1)$ air sgàth ‘s gu bheil $[0,0.5)=[0,1)\cap(-0.5,0.5)$ ann an $\mathbb{C}$ . Ach, ‘s e $\lbrace a+bi:a\in(-1,1],b\in[0,1],a^2+b^2=1\rbrace$ ro-ìomhaigh an t-seata $[0,0.5)$ fo $f^{-1}$ . Dh’fhaodamaid a dhearbhadh gu bheil $(1+0i)=1$ na phuing-chrìche den ro-ìomhaigh, agus mar sin, nach eil an ro-ìomhaigh fosgailte. Airson na cùise seo, dh’fhòghnadh dhut sealltainn air na dealbhan gu h-ìosal gus sin fhaicinn. Tha seo a’ ciallachadh nach eil $f^{-1}$ leantainneach agus nach e hoimeamorfachd a th’ ann am $f$ .

To be continued… (it gets more interesting / less dry after we’re done defining terms)

Clàr-mìneachaidh

Gàidhlig	Beurla
àite	space
àite meatrach	metric space
àite topo-eòlasach	topological space
anailis	analysis (e.g complex)
àrainn tàirnge	basin of attraction
beàrn	interval
cearcall-aonaid	unit circle
co-dhèanamh	composition (e.g. functions)
dà-thilgeil	bijection
co-aomach / co-aomadh	converging / convergence
cuairt	orbit
Eileamaid	Element (e.g. of a set)
foincsean	function
gearradh	segment
gnìomh	action (e.g. group)
Hoimeamorfachd (f)	Homeomorphism
Homamorfachd (f)	Homomorphism
Homatopachd (f)	Homotopy
Homatopach	Homotopic
(ro-) ìomhaigh	(pre-) image
Iosamorfachd (f)	Isomorphism
iomsgarach / iomsgaradh	diverging / divergence
leantainneachd / leantainneach	continuity / continuous
mapadh	map / mapping
ma tha, agus dìreach ma tha	if and only if
nàbachd	neighbourhood
nàbachd thollta	punctured / deleted neighbourhood
puing ais-bhualach	repelling point
puing-chrìche	limit point
puing-chruinneachaidh	accumulation point
puing chuairteach	periodic point
puing-iomaill	boundary point
puing ro-chuairteach	pre-periodic point
puing ro-stèidhichte	pre-fixed point
puing stèidhichte	fixed point
puing tharraingeach	attracting point
raon-targaid	co-domain
riatanach agus gu leòr	necessary and sufficient
siostam dinimigeach	dynamical system
steach-raon	domain
∃ x	there exists x
: (far a bheil)	such that

An ceangal eadar teòiridh bhuidhnean agus fractalan.

Clàr-mìneachaidh

Sgrìobh beachd Sguir dhen fhreagairt